Das Binaersystem: Ein Anfaenger-Leitfaden

Was ist das Binaersystem?

Das Binaersystem ist ein Zahlensystem, das nur zwei Ziffern verwendet: 0 und 1. Jede Zahl, jeder Buchstabe, jedes Bild und jeder Befehl in einem Computer wird letztlich binaer dargestellt. Es ist die Muttersprache der digitalen Elektronik.

Wir verwenden das Dezimalsystem (Basis 10) im Alltag, weil wir zehn Finger haben. Computer verwenden das Binaersystem (Basis 2), weil ihre Grundbausteine — Transistoren — zwei Zustaende haben: an (1) und aus (0). Ein Transistor kennt weder die Zahl 7 noch den Buchstaben A. Er kennt nur Spannung-hoch und Spannung-niedrig.

Umrechnung Binaer-Dezimal

Jede Stelle in einer Binaerzahl repraesentiert eine Potenz von 2, von rechts nach links: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...

Beispiel: 1011 in Binaer = 1x8 + 0x4 + 1x2 + 1x1 = 11 in Dezimal.

Umgekehrt: Um 25 in Binaer umzurechnen, teilen Sie wiederholt durch 2 und notieren den Rest: 25/2=12 R1, 12/2=6 R0, 6/2=3 R0, 3/2=1 R1, 1/2=0 R1. Von unten nach oben gelesen: 11001.

Binaere Arithmetik

Addition funktioniert wie im Dezimalsystem, nur mit Uebertrag ab 2 statt ab 10:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 schreiben, 1 uebertragen)
• 1 + 1 + 1 = 11 (1 schreiben, 1 uebertragen)

Multiplikation ist besonders einfach: Multiplizieren mit 0 ergibt 0, mit 1 ergibt die Zahl selbst. Jede Verschiebung um eine Stelle nach links verdoppelt den Wert — genau wie im Dezimalsystem eine Verschiebung nach links verzehnfacht.

Wie Computer Daten binaer speichern

• Text: Jedes Zeichen wird einem Binaerwert zugeordnet. In ASCII ist A = 01000001. Unicode erweitert dies auf ueber 140.000 Zeichen.
• Bilder: Jedes Pixel besteht aus drei Bytes (Rot, Gruen, Blau), jeweils von 00000000 (0, keine Farbe) bis 11111111 (255, volle Intensitaet). Ein 1920x1080-Bild sind 6.220.800 Bytes an Binaerdaten.
• Audio: Schallwellen werden in regelmaessigen Abstaenden abgetastet und jeder Abtastwert als Binaerzahl gespeichert. CD-Qualitaet: 44.100 Abtastungen pro Sekunde, 16 Bit pro Abtastung.

Verwandte Zahlensysteme

Programmierer verwenden haeufig Hexadezimal (Basis 16) und Oktal (Basis 8) als kompaktere Darstellungen fuer Binaer:

• Hexadezimal: Jede Hex-Ziffer (0-F) repraesentiert vier Binaerstellen. 1010 1111 wird zu AF. Gaengig fuer Farben (#FF0000), Speicheradressen und Byte-Werte.
• Oktal: Jede Oktalziffer repraesentiert drei Binaerstellen. Noch in chmod-Berechtigungen verwendet (755 = 111 101 101).

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